关于证明“Φ是任何集合的子集”的疑问

关于证明“Φ是任何集合的子集”的疑问
大多书上都是用反证法（假设存在元素x属于Φ,但x不属于集合A,那么“Φ不是任何集合的子集”.但由于Φ不存在任何元素,所以先前假设的内容“Φ不是任何集合的子集”是错误的,即待证结论“Φ是任何集合的子集”是正确的）.
但是我觉得这样证不对.换个思路,如果要证明“Φ是任何集合的子集”,只要能证明（元素x属于Φ,且x属于集合A）就可以了,但由于Φ不存在任何元素,所以假设（元素x属于Φ,且x属于集合A）是错误的,即“Φ不是任何集合的子集”.难道真的“Φ不是任何集合的子集”?
所以我觉得用Φ的定义（Φ不存在任何元素）和子集的定义（元素x属于A,且x属于B,那么A是B的子集）这2个“工具”来反证“Φ是任何集合的子集”是行不通的.因为用子集的定义来推翻假设,前提是子集定义中的集合A,B必须都是有元集合,即非Φ集合,不适合于Φ.所以我认为“Φ是任何集合的子集”这个应该是人为强行赋予的定义,而非通过反证明推出来的一个定理.
子集的定义[若存在（所有）元素x属于集合A，那么x都属于集合B，当且仅当这样A就是B的子集]
设命题P：（所有）元素x属于集合A；
Q：x属于集合B；
Z：A是B的子集；
子集的定义可化成命题公式是：ZP->Q （1）
再设命题a：元素x属于Φ；
b：元素x属于任意集合A；
c：Φ是任意集合A的子集；
带入上命题公式（1）中，其实就是要证明带入后是一个永真式，即命题a=T，b=F是不可能的，因为命题a的真值永=T（Φ的定义），所以命题c永=T，即“Φ是任意集合A的子集”......证毕！
是不是这样的？