已知f(x)=ax2+bx+c. (Ⅰ)当a=-1,b=2,c=4时,求f(x)≤1的解集; (Ⅱ)当f(1)=f(3)=0,且当x∈(1,3)时,f(x)≤1恒成立,求实数a的最小值.
问题描述:
已知f(x)=ax2+bx+c.
(Ⅰ)当a=-1,b=2,c=4时,求f(x)≤1的解集;
(Ⅱ)当f(1)=f(3)=0,且当x∈(1,3)时,f(x)≤1恒成立,求实数a的最小值.
答
(Ⅰ)当a=-1,b=2,c=4时,f(x)=-x2+2x+4,
则f(x)≤1即x2-2x-3≥0,
∴(x-3)(x+1)≥0,解得x≤-1,或x≥3.
所以不等式f(x)≤1的解集为{x|x≤-1,或x≥3};
(Ⅱ)因为f(1)=f(3)=0,
所以f(x)=a(x-1)(x-3),f(x)=a(x-1)(x-3)≤1在x∈(1,3)恒成立,即−a≤
在x∈(1,3)恒成立,1 (x−1)(3−x)
而0<(x−1)(3−x)≤[
]2=1,当且仅当x-1=3-x,即x=2时取到等号. (x−1)+(3−x) 2
∴
≥1,1 (x−1)(3−x)
所以-a≤1,即a≥-1.
所以a的最小值是-1;
(Ⅱ)或f(x)=a(x-1)(x-3)≤1在x∈(1,3)恒成立,
即a(x-1)(x-3)-1≤0在x∈(1,3)恒成立.
令g(x)=a(x-1)(x-3)-1=ax2-4ax+3a-1=a(x-2)2-a-1.
①当a=0时,g(x)=-1<0在x∈(1,3)上恒成立,符合;
②当a>0时,易知在x∈(1,3)上恒成立,符合;
③当a<0时,则-a-1≤0,所以-1≤a<0.
综上所述,a≥-1
所以a的最小值是-1.