若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是(  ) A.f(x)-1是奇函数 B.f(x)-1是偶函数 C.f(x)+1是奇函数 D.f(x)+1是偶函数

问题描述:

若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是(  )
A. f(x)-1是奇函数
B. f(x)-1是偶函数
C. f(x)+1是奇函数
D. f(x)+1是偶函数

∵对任意x1,x2∈R有
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,
∴令x1=x2=0,得f(0)=-1
∴令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1,
∴f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1],
∴f(x)+1为奇函数.
故选C