已知,如图,梯形ABCD中,AD平行BC,角ABC=90度,如图(2),若DE垂直BC于E,BD=BC,F是CD的中点,试问角BAF

问题描述:

已知,如图,梯形ABCD中,AD平行BC,角ABC=90度,如图(2),若DE垂直BC于E,BD=BC,F是CD的中点,试问角BAF
和角BCD的大小关系如何,请写出你的结论并加以证明,在(2)的条件下,若AD=ED,S三角形ABF/S三角形CEF

1、∵BD=BC,

∴〈BDC=〈BCD,

∵DF=CF,(已知),

∴BF⊥CD,(等腰△三线合一),

∵〈BAD=90°,

∴〈BAD+〈BFD=180°,

∴A、B、F、D四共圆,

∴〈BAF=〈BDF(同弧圆周角相等),

∴〈BAF=〈BCD.

2、∵DE⊥BC,〈DAB=〈BAD=90°,

∴四边形ABED矩形,

又∵AD=DE,

∴四边形ABED是正方形,

∵〈BFD=〈BED=90°,

∴B、E、F、D四点同在以BD中点为圆心、BD为直径的圆上,

∴〈EFC=〈DBE=45°,(圆内接四边形外角等于内对角),

〈FEC=〈BDF,(同理),

而由前所述,〈BAF=〈BDF,(同弧圆周角),

∴〈BAF=FEC=〈C,

∵〈ABF+〈ADF=180°,(圆内接四边形对角互补)

〈C+〈ADF=180°,(同旁内角互补),

∴〈C=〈ABF,

∴等腰△FAB∽等腰△FEC,

设AB=1,

〈FEC=〈C=(180°-45°)/2=67.5°,

〈CDE=22.5°,

tan<EDC=CE/DE=√2-1,

∴S△ABF/S△CEF=(AB/CE)^2=(1/(√2-1)^2=(√2+1)^2=3+2√2.

其中tan22.5°=√[(1-co45 °)/2]/[(1+co45 °)/2]=√2-1.