（2006•扬州）图1是用钢丝制作的一个几何探究工具,其中△ABC内接于⊙G,AB是⊙G的直径,AB=6,AC=3．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2）,然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动,点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3）,当点B滑动至与点O重合时运动结束．（1）试说明在运动过程中,原点O始终在⊙G上；（2）设点C的坐标为（x,y）,试探求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；（3）在整个运动过程中,点C运动的路程是多少?

答

图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=3．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束．
⑴ 试说明在运动过程中，原点O始终在⊙G上；
⑵ 设点C的坐标为（，），试探求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
⑶ 在整个运动过程中，点C运动的路程是多少？
解答过程：连接OC，∵AB是☉G的直径
∴∠BCA=90。∴AB=6，AC=3
∴∠ABC=30'∴∠COA=30'
∴tan∠COA=
∴y=()

答

考点：一次函数综合题．

专题：压轴题．分析：（1）因为OG始终是⊙G的半径，所以原点O始终在⊙G上；
（2）运动过程中，弧AC的长保持不变，弧AC所对应的圆周角∠AOC保持不变，等于∠XOC，∠xOC=30°，y=3x3．即自变量x的取值范围是332≤x≤33；
（3）利用勾股定理可求得，点C运动的路程总路径为：C1C2+C2C3=3+6-33=9-33．（1）∵AB是⊙G的直径，
∴∠AOB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴原点O始终在⊙G上；

（2）运动过程中，弧AC的长保持不变，
弧AC所对应的圆周角∠AOC保持不变，等于∠XOC，
由图2可知，∠XOC=30°，y=3x3，
即自变量x的取值范围是332≤x≤33；

（3）如图1，连接OG．
∵∠AOB是直角，G为AB中点，
∴GO=12AB=半径，
∴原点O始终在⊙G上．
∵∠ACB=90°，AB=6，AC=3，
∴BC=33，
连接OC．则∠AOC=∠ABC，
∴tan∠AOC=ACBC=33，
∴点C在与x轴夹角为∠AOC的射线上运动．
如图2，C1C2=OC2-OC1=6-3=3；
如图3，C2C3=OC2-OC3=6-33；
∴总路径为：C1C2+C2C3=3+6-33=9-33．

答

1)∵AOB=90
∴O在以AB为直径的圆上,即O在○G上
2)∵AOBC四点共圆
∴COA=CBA=30
过C作CP⊥x轴于P,CP=y,OP=x
∴x=√3y,y=√3x/3
A在原点时,x=3√3/2; B在原点时,x=9/2
∴y=√3x/3(3√3/2