如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°． 求证：（1）EF=BE+DF； （2）SABCDS△EAF＝2AB/EF．
问题描述：
如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°．
求证：（1）EF=BE+DF；
（2）
＝SABCD S△EAF
．2AB EF
答
证明：（1）延长CB到G，使GB=DF，连接AG（如图）
∵AB=AD，∠ABG=∠D=90°，GB=DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠3=∠2，AG=AF，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠GAE=∠1+∠3=45°=∠EAF，
∵AE=AE，∠GAE=∠EAF，AG=AF，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GB+BE=EF，
∴DF+BE=EF；
（2）∵△AEF≌△AGE，
∴S△AEF=S△AGE，
∴S△AEF＝
GE×AB＝1 2
EF×AB，1 2
又SABCD=AB2，
∴
＝SABCD S△AEF
＝AB2
EF×AB1 2
．2AB EF