如图,已知正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°.求证:(1)EF=BE+DF;(2)SABCDS△EAF=2ABEF.

问题描述:

如图,已知正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°.
求证:(1)EF=BE+DF;
(2)

SABCD
S△EAF
2AB
EF

证明:(1)延长CB到G,使GB=DF,连接AG(如图)
∵AB=AD,∠ABG=∠D=90°,GB=DF,
∴△ABG≌△ADF(SAS),
∴∠3=∠2,AG=AF,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠1+∠2=45°,
∴∠GAE=∠1+∠3=45°=∠EAF,
∵AE=AE,∠GAE=∠EAF,AG=AF,
∴△AGE≌△AFE(SAS),
∴GB+BE=EF,
∴DF+BE=EF;
(2)∵△AEF≌△AGE,
∴S△AEF=S△AGE
S△AEF

1
2
GE×AB=
1
2
EF×AB,
又SABCD=AB2
SABCD
S△AEF
AB2
1
2
EF×AB
2AB
EF

答案解析:延长CB到G,使GB=DF,连接AG,求证△ABG≌△ADF,得∠3=∠2,AG=AF,进而求证△AGE≌△AFE,可得GB+BE=EF,所以DF+BE=EF,分别计算正方形ABCD和△AEF的面积,即可得
SABCD
S△AEF
AB2
1
2
EF×AB
2AB
EF
,即可解题.
考试点:正方形的性质;三角形的面积;全等三角形的判定与性质.
知识点:本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质,全等三角形的判定,全等三角形对应边、对应角相等的性质,本题中求证S△AEF=S△AGE是解题的关键.