已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90度. (1)如图1,若AC⊥BD,且AC=5,BD=3,则S梯形ABCD= _ ; (2)如图2,若DE⊥BC于E,BD=BC,F是CD的中点,试问:∠BAF与∠BCD的大小关系如何?请

问题描述:

已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90度.

(1)如图1,若AC⊥BD,且AC=5,BD=3,则S梯形ABCD= ___ ;
(2)如图2,若DE⊥BC于E,BD=BC,F是CD的中点,试问:∠BAF与∠BCD的大小关系如何?请写出你的结论并加以证明;
(3)在(2)的条件下,若AD=EC,

S△ABF
S△CEF
= ___ .

(1)S梯形ABCD=

1
2
AC•BD=
15
2

证明:(2)∠BAF=∠BCD.
连接EF、BF,
∵DF=CF,∠DEC=90°,
∴EF=CF=
1
2
CD.
∴∠FEC=∠C.
又∠C+∠ADF=180°,
∠FEC+∠BEF=180°,
∴∠ADF=∠BEF.
∵∠BAD=∠ABE=∠BED=90°,
∴四边形ABED是矩形.
∴AD=BE.
∴△ADF≌△BEF.
∴FA=FB.
∴∠FAB=∠ABF.
又BD=BC,DF=CF,
∴BF⊥CD.
∴∠BFD=∠BAD=90°.
∴∠ABF+∠ADF=180°.
∴∠ABF=∠C.
∴∠BAF=∠BCD.
(3)根据题意可知:△ABF∽△CEF,
∴EC:AB=EC:DE=1:
3

S△ABF
S△CEF
=3.