如图,已知:梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,E、F、G、H分别是AD、BC、BE、CE的中点.(1)求证:△ABE≌△DCE.(2)四边形EGFH是什么特殊四边形?并证明你的结论.(3)连接EF,当四边形EGFH是正方形时,线段EF与BC有什么关系?请说明理由.

问题描述:

如图,已知:梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,E、F、G、H分别是AD、BC、BE、CE的中点.
(1)求证:△ABE≌△DCE.
(2)四边形EGFH是什么特殊四边形?并证明你的结论.
(3)连接EF,当四边形EGFH是正方形时,线段EF与BC有什么关系?请说明理由.

(1)证明:由题意可得ABCD是等腰梯形,
∴∠A=∠D,
在△ABE和△DCE中,

AE=ED
∠A=∠D
AB=DC

∴△ABE≌△DCE.
(2)四边形EGFH是菱形.
证明:∵GF、FH是△EBC的中位线,且由(1)得EB=EC,
∴GF∥EH,GE∥HF,GF=GE,
∴四边形EGFH是菱形.
(3)EF⊥BC,且EF=
1
2
BC.
证明:连接EF,
∵EFGH是正方形,
∴∠GEH=90°,即△BEC是等腰直角三角形
∴EF⊥BC,且EF=
1
2
BC.
答案解析:(1)根据等腰梯形的性质可得出∠A=∠D,结合题意AB=CD,点E是AD的中点,利用SAS即可判断全等.
(2)根据中位线定理可得出GF∥EH,GE∥HF,GF=GE,从而可判断出四边形EGFH的形状.
(3)连接EF,则根据等腰直角三角形斜边中线的性质可判断出EF与BC的关系.
考试点:等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定;正方形的性质.

知识点:此题考查了等腰梯形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定及性质,考查的都是一些基本知识,解答本题的关键是利用SAS证明出第一步,然后利用三角形的中位线定理及等腰直角三角形的性质,解答第二、第三问.