若a,b,c为△ABC的三边,且关于x的方程:4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有两个相等的实数根,试证△ABC是等边三角形.

问题描述:

若a,b,c为△ABC的三边,且关于x的方程:4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有两个相等的实数根,试证△ABC是等边三角形.

证明:由题得,△=16(a2+b2+c22-4×4×3(a2b2+b2c2+c2a2)=0,
所以有,a4+b4+c4-a2b2-a2c2-b2c2=0,2(a4+b4+c4-a2b2-a2c2-b2c2)=0,
得到(a2-b22+(b2-c22+(c2-a22=0,
所以a2-b2=0且b2-c2=0且c2-a2=0,即有a=b=c.
所以△ABC是等边三角形.