若方程(a2+c2)x2+2(b2-c2)x+c2-b2=0有两个相等的实数根,且a、b、c是△ABC的三条边,求证:△ABC是等腰三角形.

问题描述:

若方程(a2+c2)x2+2(b2-c2)x+c2-b2=0有两个相等的实数根,且a、b、c是△ABC的三条边,求证:△ABC是等腰三角形.

证明:∵方程(a2+c2)x2+2(b2-c2)x+c2-b2=0有两个相等的实数根,
∴△=0,即[2(b2-c2)]2-4(a2+c2)(c2-b2)=0,即(b2-c2)(b2-c2+a2+c2)=0
∴(b2-c2)(b2+a2)=0
∵b2+a2>0
∴b2-c2=0,即b=c,
∴△ABC是等腰三角形.