在△ABC中,sinB+sinC=sin(A-C).(1)求A的大小;(2)若BC=3,求△ABC的周长l的最大值.

问题描述:

在△ABC中,sinB+sinC=sin(A-C).
(1)求A的大小;
(2)若BC=3,求△ABC的周长l的最大值.

(1)将sinB+sinC=sin(A-C)变形得sinC(2cosA+1)=0,
而sinC≠0,则cosA=-

1
2
,又A∈(0,π),于是A=
3
;                  
(2)记B=θ,则C=
π
3
-θ(0<θ<
π
3
),由正弦定理得
AC=2
3
sinθ
AB=2
3
sin(
π
3
-θ)

则△ABC的周长l=2
3
[sinθ+sin(
π
3
-θ)]+3=2
3
sin(θ+
π
3
)+3≤2
3
+3,
当且仅当θ=
π
6
时,周长l取最大值2
3
+3.