已知x=1是f（x）=2x+b/x+lnx的一个极值点 （1）求函数f（x）的单调递减区间； （2）设g（x）=f（x）-3/x，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．
问题描述：
已知x=1是f（x）=2x+
+lnx的一个极值点b x
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）设g（x）=f（x）-
，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由． 3 x
答
（1）∵x=1是f（x）=2x+
+lnx的一个极值点，b x
f′（x）=2-
+b x2
，1 x
∴f′（1）=0，即2-b+1=0，
∴b=3，经检验，适合题意，
∴b=3．
由f′（x）=2-
+3 x2
＜0，得1 x
＜0，∴-2x2+x−3 x2
＜x＜1，3 2
又∵x＞0（定义域），
∴函数的单调减区间为（0，1]．
（2）g（x）=f（x）-
=2x+lnx，3 x
设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），
∴
=g′（x0），
y0−5
x0−2
即2x0+lnx0-5=（2+
）（x0-2），1 x0
∴lnx0+
-5=（2+2 x0
）（x0-2），1 x0
∴lnx0+
-2=0，2 x0
令h（x）=lnx+
-2，2 x
h′（x）=
-1 x
=0，∴x=2．2 x2
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∵h（
）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e2）=1 2
＞0，2 e2
∴h（x）与x轴有两个交点，
∴过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．