已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2-10x的一个极值点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．
问题描述：
已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2-10x的一个极值点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．
答
知识点：此题重点考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题；，熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围．
（Ⅰ）因为f′(x)＝a1+x+2x−10所以f′(3)＝a4+6−10＝0因此a=16（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x2-10x，x∈（-1，+∞）f′(x)＝2(x2−4x+3)1+x当x∈（-1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0当x∈（1，3）时，f...
答案解析：（Ⅰ）先求导f′(x)＝
+2x−10，再由x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2-10x的一个极值点即f′(3)＝a 1+x
+6−10＝0求解．a 4
（Ⅱ）由（Ⅰ）确定f（x）=16ln（1+x）+x2-10x，x∈（-1，+∞）再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得单调区间．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（-1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0，可得f（x）的极大值为f（1），极小值为f（3）一，再由直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点则须有f（3）＜b＜f（1）求解，因此，b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）．
考试点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
知识点：此题重点考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题；，熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围．