如图，抛物线y=-1/2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3． （1）求抛物线的解析式． （2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP
问题描述：
如图，抛物线y=-
x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．1 2
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-
． b 2a
答
（1）∵OA=2，OC=3，
∴A（-2，0），C（0，3），
∴c=3，
将A（-2，0）代入y=-
x2+bx+3得，-1 2
×（-2）2-2b+3=0，1 2
解得b=
，1 2
可得函数解析式为y=-
x2+1 2
x+3；1 2
（2）存在，理由如下：
如图：连接AD，与对称轴相交于P，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小．
设AD所在直线的解析式为y=kx+b，
将A（-2，0），D（2，2）分别代入解析式得，
，
-2k+b=0 2k+b=2
解得，
，故直线解析式为y=
k=
1 2 b=1
x+1，（-2<x<2），1 2
由于二次函数的对称轴为x=-
=
1 2 2×(-
)1 2
，1 2
则当x=
时，y=1 2
×1 2
+1=1 2
，5 4
故P（
，1 2
）．5 4