△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证:AB+BP=BQ+AQ.(有多种辅助线作法)

问题描述:

△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证:AB+BP=BQ+AQ.(有多种辅助线作法)

方法一、证明:延长AB到D,使BD=BP,连接PD,
则∠D=∠5.
∵AP,BQ分别是∠BAC,∠ABC的平分线,∠BAC=60°,∠ACB=40°,
∴∠1=∠2=30°,∠ABC=180°-60°-40°=80°,∠3=∠4=40°=∠C,
∴QB=QC,
又∠D+∠5=∠3+∠4=80°,
∴∠D=40°.
在△APD与△APC中,

∠D=∠C
∠2=∠1
AP=AP

∴△APD≌△APC(AAS),
∴AD=AC.
即AB+BD=AQ+QC,
∴AB+BP=BQ+AQ.
方法二、如图,
∴∠CBQ=
1
2
∠ABC=
1
2
×80°=40°,
∴∠CBQ=∠ACB,
∴BQ=CQ,
∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①,
过点P作PD∥BQ交CQ于点D,
则∠CPD=∠CBQ=40°,
∴∠CPD=∠ACB=40°,
∴PD=CD,∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°,
∵∠ABC=80°,
∴∠ABC=∠ADP,
∵AP平分∠BAC,
∴∠BAP=∠CAP,
∵在△ABP与△ADP中,
ABC=∠ADP
∠BAP=∠CAP
AP=AP

∴△ABP≌△ADP(AAS),
∴AB=AD,BP=PD,
∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②,
由①②可得,BQ+AQ=AB+BP.