在△ABC中,AB=AC,点O是线段AC与BC垂直平分线的交点,P、Q两点分别在直线AC和AB上,AP=BQ.(1)如图①,当∠BAC=60°,点P、Q分别在线段AC、AB上时,求证:∠APO+∠AQO=180°;(2)如图②,当∠BAC=120°,点P、Q分别在CA、AB的延长线上时,则∠APO与∠AQO的数量关系是___;(3)如图③,在(2)的条件下,连接PQ、AO,若PQ⊥CP于点P,AO交BC于D,PO交BC于E,CD=6,求BE的长.

问题描述:

在△ABC中,AB=AC,点O是线段AC与BC垂直平分线的交点,P、Q两点分别在直线AC和AB上,AP=BQ.

(1)如图①,当∠BAC=60°,点P、Q分别在线段AC、AB上时,求证:∠APO+∠AQO=180°;
(2)如图②,当∠BAC=120°,点P、Q分别在CA、AB的延长线上时,则∠APO与∠AQO的数量关系是___
(3)如图③,在(2)的条件下,连接PQ、AO,若PQ⊥CP于点P,AO交BC于D,PO交BC于E,CD=6,求BE的长.

(1)连接AO、BO、CO,

∵点O是线段AC与BC垂直平分线的交点,
∴OA=OB=OC,
又∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形,AB=BC=AC,
∴直线AO和直线BO分别是边BC和AC的垂直平分线,
∴∠OAP=∠OBQ=

1
2
∠BAC=
1
2
∠ABC=30°,
∵在△APO和△BQO中,
AO=BO
∠PAO=∠QBO
AP=BQ

∴△APO≌△BQO,(SAS)
∴∠APO=∠BQO,
∵∠BQO+∠AQO=180°,
∴∠APO+∠AQO=180°;
(2)连接AO、BO、CO,

∵点O是线段AC与BC垂直平分线的交点,
∴OA=OB=OC,
∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠BAO=∠CAO=60°,
∴△OAB,△OAC是等边三角形,
∴∠QBO=120°,∠PAO=∠PAQ+∠BAO=120°,
∵在△PAO和△QBO中,
AP=BQ
∠PAO=∠QBO
AO=BO

∴△PAO≌△QBO,(SAS)
∴∠APO=∠AQO;
(3)连接OB、OC,

同理(1)问可知,AD⊥BC,且∠BAD=∠CAD=60°,BD=CD,
∵OA=OB,
∴AB=AO=BO,且∠OBD=
1
2
∠OBA=30°,
∵∠BAC=120°,
∴∠PAQ=60°,∠PAO=120°,△APQ中,∠APQ=90°,∠AQP=30°,PA=
1
2
AQ,
∵AP=BQ,
∴BQ=
1
2
AQ,
∴AP=AB=AO,
∴∠AOP=30°,
∴∠BOE=30°,
∴BE=OE,
∴RT△ODE中,DE=
1
2
OE=
1
2
BE,
∴BE=
2
3
BD=
2
3
CD=4.
答案解析:(1)连接AO、BO、CO,易证△ABC是等边三角形,即可证明△APO≌△BQO,可得∠APO=∠BQO,即可解题;
(2)连接AO、BO、CO,易证△OAB,△OAC是等边三角形,即可证明△PAO≌△QBO,可得∠APO=∠AQO,即可解题;
(3)连接OB、OC,同理(1)问可知,AD⊥BC,且∠BAD=∠CAD=60°,BD=CD,易证PA=
1
2
AQ,BQ=
1
2
AQ,即可证明BE=OE,可得BE=
2
3
BD=
2
3
CD,即可解题.
考试点:A:全等三角形的判定与性质 B:线段垂直平分线的性质 C:含30度角的直角三角形
知识点:本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质,本题中求证△APO≌△BQO是解题的关键.