如图,⊙O的弦AB、CD交于点P,AB=CD.求证:OP平分∠BPD.

问题描述:

如图,⊙O的弦AB、CD交于点P,AB=CD.求证:OP平分∠BPD.

证明:
连接OB、OD,过O作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,
则由垂径定理得:BM=

1
2
AB,DN=
1
2
CD,
∵AB=CD,
∴BM=DN,
由勾股定理得:OM2=OB2-BM2,ON2=OD2-DN2
∵OB=OD,BM=DN,
∴OM=ON,
∵OM⊥AB,ON⊥CD,
∴OP平分∠BPD.