如图,⊙O的弦AB、CD交于点P,AB=CD.求证:OP平分∠BPD.
问题描述:
如图,⊙O的弦AB、CD交于点P,AB=CD.求证:OP平分∠BPD.
答
证明:
连接OB、OD,过O作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,
则由垂径定理得:BM=
AB,DN=1 2
CD,1 2
∵AB=CD,
∴BM=DN,
由勾股定理得:OM2=OB2-BM2,ON2=OD2-DN2,
∵OB=OD,BM=DN,
∴OM=ON,
∵OM⊥AB,ON⊥CD,
∴OP平分∠BPD.