如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点. (1)求证:PD∥面AEC; (2)求证:平面AEC⊥平面PDB.

问题描述:

如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点.

(1)求证:PD∥面AEC;
(2)求证:平面AEC⊥平面PDB.

(1)证明:设AC∩BD=O,连接EO,
因为O,E分别是BD,PB的中点
,所以PD∥EO…(4分)
而PD⊄面AEC,EO⊂面AEC,
所以PD∥面AEC…(7分)
(2)连接PO,因为PA=PC,
所以AC⊥PO,
又四边形ABCD是菱形,
所以AC⊥BD…(10分)
而PO⊂面PBD,BD⊂面PBD,PO∩BD=O,
所以AC⊥面PBD…(13分)
又AC⊂面AEC,
所以面AEC⊥面PBD…(14分)