函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是( )A. a>−316B. −65<a<−316C. a>−65D. −65≤a≤−316
问题描述:
函数f(x)=
ax3+1 3
ax2−2ax+2a+1的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是( )1 2
A. a>−
3 16
B. −
<a<−6 5
3 16
C. a>−
6 5
D. −
≤a≤−6 5
3 16
答
f′(x)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1)
令f′(x)=a(x+2)(x-1)=0得x=-2或x=1
x∈(-∞,-2)时f′(x)的符号与x∈(-2,1)时f′(x)的符号相反,x∈(-2,1)时f′(x)的符号与x∈(1,+∞)时f′(x)的符号相反
∴f(-2)=−
a+2a+4a+2a+1=8 3
a+1和f(1)=16 3
a+1 3
a−2a+2a+1=1 2
a+1为极值,5 6
∵图象经过四个象限
∴f(-2)•f(1)<0即(
a+1)(16 3
a+1)<05 6
解得−
<a<−6 5
3 16
故答案为B
答案解析:求函数的极值,要使图象经过四个象限只要两极值符号不同
考试点:函数在某点取得极值的条件.
知识点:本题考查导数求函数的极值,眼睛函数的单调性及其图象