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函数f(x)＝13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（　　）A. a＞−316B. −65＜a＜−316C. a＞−65D. −65≤a≤−316

分类: 作业答案 • 2021-12-19 15:04:30
问题描述：

函数f(x)＝

1
3
ax3+
1
2
ax2−2ax+2a+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（　　）
A. a＞−
3
16

B. −
6
5
＜a＜−
3
16

C. a＞−
6
5

D. −
6
5
≤a≤−
3
16

答

f′（x）=ax2+ax-2a=a（x+2）（x-1）
令f′（x）=a（x+2）（x-1）=0得x=-2或x=1
x∈（-∞，-2）时f′（x）的符号与x∈（-2，1）时f′（x）的符号相反，x∈（-2，1）时f′（x）的符号与x∈（1，+∞）时f′（x）的符号相反
∴f（-2）=−

8
3
a+2a+4a+2a+1=
16
3
a+1和f（1）=
1
3
a+
1
2
a−2a+2a+1=
5
6
a+1为极值，
∵图象经过四个象限
∴f（-2）•f（1）＜0即（
16
3
a+1）（
5
6
a+1）＜0
解得−
6
5
＜a＜−
3
16

故答案为B
答案解析：求函数的极值，要使图象经过四个象限只要两极值符号不同
考试点：函数在某点取得极值的条件．
知识点：本题考查导数求函数的极值，眼睛函数的单调性及其图象

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