如图,已知二次函数y=(x-1)2的图象的顶点为C点,图象与直线y=x+m的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在y轴上.(1)求m的值;(2)点P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过点P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.

问题描述:

如图,已知二次函数y=(x-1)2的图象的顶点为C点,图象与直线y=x+m的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在y轴上.

(1)求m的值;
(2)点P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过点P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)将x=3,y=4代入y=x+m中,m=1
(2)∵P点在y=x+m上∴P(x,x+1)
又∵E点在y=(x-1)2上∴E[x,(x-1)2]
∴h=(x+1)-(x-1)2
=x+1-x2+2x-1=-x2+3x(0<x<3)
(3)∵y=(x-1)2的对称轴为x=1∴点D的横坐标为1
∴D(1,2)∴CD=2
要使四边形DCEP为平行四边形.-x2+3x=2x2-3x+2=0(x-2)(x-1)=0
∴x1=2x2=1(舍去)
∴P(2,3)
答案解析:(1)
考试点:二次函数综合题.
知识点:本题