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已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（x∈[-1，2]），且函数f（x）在x=1和x=-23处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 15:03:17
问题描述：

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（x∈[-1，2]），且函数f（x）在x=1和x=-

2
3
处都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

答

（1）∵f（x）=x3+ax2+bx+c，
∴f′（x）=3x2+2ax+b，
∵函数f（x）在x=1和x=-

2
3
处都取得极值，
∴
f′(1)＝3+2a+b＝0
f′(−
2
3
)＝
4
3
−
4
3
a+b＝0
，解得
a＝−
1
2
b＝−2
．
（2）由（1）得f(x)＝x3−
1
2
x2−2x+c
当f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1）＞0时，
由x∈[-1，2]，得-1＜x＜-
2
3
，或1＜x＜2，
∴函数f（x）的单调递增区间为[-1，-
2
3
），（1，2]．
答案解析：（1）由已知得f′（x）=3x2+2ax+b，且
f′(1)＝3+2a+b＝0
f′(−
2
3
)＝
4
3
−
4
3
a+b＝0
，由此能求出a，b的值．
（2）由f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1）＞0，能求出函数f（x）的单调递增区间．
考试点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
知识点：本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．

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