已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间[-1,1]上有最小值,记作g(a).(1)当a=1时,求g(a)(2)求g(a)的函数表达式 (3)求g(a)的最大值.

问题描述:

已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间[-1,1]上有最小值,记作g(a).
(1)当a=1时,求g(a)
(2)求g(a)的函数表达式 
(3)求g(a)的最大值.

(1)∵a=1,∴f(x)=2x2-2x+3,
对称轴为x=

1
2
∈[-1,1],
∴g(a)=
5
2

(2)对称轴为x=
a
2

①当
a
2
≤-1
,即a≤-2时,g(a)=f(-1)=2a+5;
②当-1<
a
2
<1
,即-2<a<2时,g(a)=f(
a
2
)=-
a2
2
+3

③当1≤
a
2
,即a≥2时,g(a)=f(1)=5-2a;
所以g(a)=
2a+5,a≤-2
-
a2
2
+3,-2<a<2
-2a+5,a≥2

(3)当a≤-2时,g(a)max=g(-2)=1;
当-2<a<2时,g(a)max=3;
当a≥2时,g(a)max=g(2)=1,
∴g(a)max=3.
答案解析:(1)把a=1代入f(x)可求得对称轴,借助图象可得g(1);
(2)对称轴为x=
a
2
,按照对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情况进行讨论,借助图象可得g(a);
(3)由(2),按照a≤-2,-2<a<2,a≥2三种情况讨论分别求出函数相应的最大值,然后比较取其较大者即可;
考试点:二次函数在闭区间上的最值.
知识点:本题考查二次函数在闭区间上的最值,考查分类讨论思想,考查学生分析解决问题的能力,属中档题.