已知函数f(x)=6cos4x−5cos2x+1cos 2x,求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域.

问题描述:

已知函数f(x)=

6cos4x−5cos2x+1
cos 2x
,求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域.

由cos2x≠0得,2x≠kπ+

π
2
,解得x≠
π
4
+
2
,(k∈z),
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠
π
4
+
2
,k∈z};
∵f(x)的定义域关于原点对称,
且f(-x)=
6cos4(−x)−5cos2(−x)+1
cos(− 2x)
=
6cos4x−5cos2x+1
cos 2x
=f(x),
∴f(x)是偶函数.
又∵当x≠
π
4
+
2
,k∈z时,f(x)=
6cos4x−5cos2x+1
cos 2x

=
(2cos2x−1)(3cos2x−1)
cos 2x
=3cos2x-1,
∴f(x)的值域为{y|-1≤y<
1
2
1
2
<y≤2}.