已知y=f(x)是偶函数,当x〉0时,f(x)=x+a/x(a〉0),且当x∈〖-3,-1〗时,n≤f(x)≤m恒成立.求m-n的最小值

问题描述:

已知y=f(x)是偶函数,当x〉0时,f(x)=x+a/x(a〉0),且当x∈〖-3,-1〗时,n≤f(x)≤m恒成立.
求m-n的最小值

2^(1/x)>x^a
两边取对数,得
1/xln2>alnx
∵x∈(0,1)
∴lnxln2/xlnx欲使(1)恒成立,则a必须大于ln2/xlnx的最大值
设f(x)=1/xlnx,求导,得
f'(x)=-(lnx+1)/(xlnx)^2
当00
当x=1/e时,f'(x)=0
当1/e∴f(x)在x=1/e中取得最大值
∴a>ln2f(1/e)=-ln2*e
即a∈(-eln2,正无穷)

f'(x)=1-a/x^2,当x=√a时,f'(x)=0
这时f(x)有最小值2√a
故n取2√a
对于m,当a>=3时,只能取m=f(1)=1+a,这时m-n的最小值为1+a-2√a
当a