设函数f(x)=x-ln(x+2),证明函数f(x)在区间[e-2-2,e4-2]内至少有两个零点.
问题描述:
设函数f(x)=x-ln(x+2),证明函数f(x)在区间[e-2-2,e4-2]内至少有两个零点.
答
由于函数f(x)=x-ln(x+2),则f′(x)=1-
=2 x+2
(x>-2),x x+2
由f′(x)>0,得x>0;
由f′(x)<0,得-2<x<0;
所以f(x)在[-2,0]在上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,
则f(x)最小值=f(0)=-ln2<0
f(e-2-2)=e-2-2-lne-2=e-2>0
f(e4-2)=e4-2-lne4=e4-6>0
故函数f(x)在区间[e-2-2,e4-2]内至少有两个零点.