如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，4），C点的坐标为（8，0）．点P是直线BC在第一象限上的一点，O是原点． （1）求直线BC的解析式； （2）设P点的坐标为
问题描述：
如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，4），C点的坐标为（8，0）．点P是直线BC在第一象限上的一点，O是原点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）设P点的坐标为（x，y），△OPA的面积为S，试求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）是否存在点P，使PO=PA？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
答
（1）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）．则依题意得
，
b＝4 8k+b＝0
解得
．
k＝−
1 2 b＝4
所以直线BC的解析式为y=-
x+4；1 2
（2）如图，过点P作PD⊥x轴于点D．
∵点P是直线y=-
x+4在第一象限上的一点，且坐标为（x，y），1 2
∴PD=|y|=|-
x+4|=-1 2
x+4．1 2
∵A点的坐标为（4，0），
∴OA=4，
∴△OPA的面积为：S=
OA×PD＝1 2
×4×(−1 2
x+4)＝−x+8(0＜x＜8)；1 2
（3）存在点P，使PO=PA．理由如下：
假设存在这样的点P，过P点作PD⊥x轴于D．
当PO=PA时，则OD=AD=
OA=2，1 2
又点P是直线y=-
x+4在第一象限上的一点，1 2
∴PD=-
×2+4＝3．1 2
∴在第一象限存在1个点P（2，3），使OP=AP．