设a、b、c、d都是正整数,并且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b的值.

问题描述:

设a、b、c、d都是正整数,并且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b的值.

由a5=b4得:a=

b4
a4
=(
b2
a2
) 2

由c3=d2得:c=
d2
c2
=(
d
c
2
代入c-a=19得
d
c
2-(
b2
a2
) 2
=19,
d
c
+
b2
a2
)(
d
c
-
b2
a2
)=19,
很明显,前一个括号的值大于后一个括号的,所以则有:
d
c
+
b2
a2
=19,
d
c
-
b2
a2
=1,
上面两式相加,整理得:
d
c
=10,即d=10c;
上面两式相减,整理得:
b2
a2
=9,即b2=9a2
解得:b=3a.
因为d=10c,b=3a,a5=b4,c3=d2
所以 c3=d2=(10c)2=100c2
解得c=100,从而d=10c=1000;
由c-a=19,
得a=c-19=100-19=81,
从而b=243.
综上,d-b=1000-243=757.
故d-b的值为757.