导数f(x)=x^3+3bx^2+cx+d在负无穷到0上为增函数,（0,2)上是减函数,
问题描述：
导数f(x)=x^3+3bx^2+cx+d在负无穷到0上为增函数,（0,2)上是减函数,
f(x)=x^3+3bx^2+cx+d在负无穷到0上为增函数,（0,2)上是减函数,且f(x)=0的一个根为-b,求证f(x)=0还有不同于-b的实根x1,x2,且x1,-b,x2成等差数列
答
f(x)=x³+3bx²+cx+d,
f′(x)=3x²+6bx+c,
∵f(x)在（－∞,0 ]上为增函数,在（0,2）上为减函数,
∴f′(0)=0,即c=0,且-2b≥2,即b≤-1
f(x)=x³+3bx²+d,
又f(x)=0的一个根为-b,
∴-b³+3b³+d=0,即d= -2b³,（b≤-1）
f(x)=x³+3bx²-2b³
=x³+b³+3bx²-3b³
=(x+b)(x²-bx+b²)+3b(x+b)(x-b)
=(x+b)[ (x²-bx+b²)+3b(x-b)]
=(x+b)(x²+2bx-2b²)
设g(x)= x²+2bx-2b²,（b≤-1）
△=4b²+8b²=12 b²≥12>0,
∴方程g(x)=0有两个不等实根x1,x2,且x1+x2= -2b
又g(-b)=b²-2b²-2b²=-3b²≥3,g(-b) ≠0,
∴x1,x2与-b不相等,
又x1+x2= -2b,
∴x1,-b,x2成等差数列,
综上,方程f(x)=0还有不同于-b的实根x1,x2,且x1,-b,x2成等差数列.