已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,0)上为增函数,在[0,2]上为减函数,f(2)=0. (1)求c的值; (2)求证:f(1)≥2.

问题描述:

已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,0)上为增函数,在[0,2]上为减函数,f(2)=0.
(1)求c的值;
(2)求证:f(1)≥2.

(1)f'(x)=3x2+2bx+c.
由题f'(0)=0知c=0
(2)由题又有d=-4(b+2)故由f'(x)=3x2+2bx=0两根为x1=0, x2=−

2b
3

结合题设条件有
2b
3
≥2
,即b≤-3.
又f(1)=-7-3b≥-7-3×(-3)=2
即得.