已知函数f（x）=x2+ax，且对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立．（1）求实数a的值；（2）利用单调性的定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．

（1）由f（1+x）=f（1-x）得，
（1+x）²+a（1+x）=（1-x）²+a（1-x），
整理得：（a+2）x=0，
由于对任意的x都成立，∴a=-2．
（2）根据（1）可知f（x）=x²-2x，下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
设x₁＞x₂≥1，则f（x₁）-f（x₂）=（x₁²-2x₁）-（x₂²-2x₂）
=（x₁²-x₂²）-2（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）
∵x₁＞x₂≥1，则x₁-x₂＞0，且x₁+x₂-2＞2-2=0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
答案解析：（1）充分利用题中条件：“f （1+x）=f （1-x）”，代入计算结合两式恒等即可求得实数 a的值．
（2）欲证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，即要证明如果对于属于[1，+∞）区间上的任意两个自变量的值x₁、x₂，当x₁＜x₂时都有f（x₁）＜f（x₂）．那么就说f（x）在 这个区间上是增函数．
考试点：二次函数的性质；函数单调性的判断与证明．
知识点：本小题主要考查二次函数的性质、函数单调性的判断与证明、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．函数的单调性也叫函数的增减性．函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念．