三维无限势阱波函数表达式

因为一维无限深势阱的波函数是
φ(x)=sqrt(2/a)sin(nπx/a)
所以对称的,三维的情形,就是
φ(x,y,z)=sqrt(2/a)sin(nπx/a)*sqrt(2/a)sin(mπy/a)*sqrt(2/a)sin(kπz/a)
其中n,m,k是非负整数,并且保证不全为0.
能量是
E(n,m,k)=(nn+mm+kk)*h^2/8ma^2
所以第一能级是基态,具有最低能量,有三种情况：
n=1,m=k=0 φ(x,y,z)=sqrt(2/a)sin(nπx/a)
m=1,n=k=0 ...
k=1,n=m=0 ...
看得出,第一能级应该是两个量子数为1,一个为0（比一个是2,两个是0来的小）
有
n=k=1,m=0
..
.
相应的写出来就可以了.
2：第一个性质就是基态是简并的,而且各个态往往都具有简并情况.
第二个性质是统计上的性质,因为驻波条件得到
px=nh/2a dpx=h/2a*dn
py=mh/2a dpy=h/2a*dm
pz=kh/2a dpz=h/2a*dk
dn*dm*dk=(2a)^3/h^3*dpxdpydpz=8V/h^3dpxdpydpz=8V/h^3*p^2dpsinθdθdφ,然后对球面积分,得到
dnp=32πV/h^3*p^2dp
这是球坐标系的转化.
然后利用
p^2/2m=E
得到
D(e)de=16πV/h^3*(2m)^1.5*sqrt(e)de
e是能量
D(e)de表示能量在e到e+de之间的态的个数