如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证： （1）BQ=CQ； （2）BQ+AQ=AB+BP．
问题描述：
如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：
（1）BQ=CQ；
（2）BQ+AQ=AB+BP．
答
证明：（1）∵BQ是∠ABC的角平分线，
∴∠QBC=
∠ABC．1 2
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，且∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，
∴∠QBC=
×80°=40°，1 2
∴∠QBC=∠C，
∴BQ=CQ；
（2）延长AB至M，使得BM=BP，连结MP．
∴∠M=∠BPM，
∵△ABC中∠BAC=60°，∠C=40°，
∴∠ABC=80°，
∵BQ平分∠ABC，
∴∠QBC=40°=∠C，
∴BQ=CQ，
∵∠ABC=∠M+∠BPM，
∴∠M=∠BPM=40°=∠C，
∵AP平分∠BAC，
∴∠MAP=∠CAP，
在△AMP和△ACP中，
∵
∠M＝∠C ∠MAP＝∠CAP AP＝AP
∴△AMP≌△ACP，
∴AM=AC，
∵AM=AB+BM=AB+BP，AC=AQ+QC=AQ+BQ，
∴AB+BP=AQ+BQ．