如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q分别在BC、CA上,并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线.求证: (1)BQ=CQ; (2)BQ+AQ=AB+BP.
问题描述:
如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q分别在BC、CA上,并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线.求证:
(1)BQ=CQ;
(2)BQ+AQ=AB+BP.
答
证明:(1)∵BQ是∠ABC的角平分线,
∴∠QBC=
∠ABC.1 2
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,且∠BAC=60°,∠ACB=40°,
∴∠ABC=80°,
∴∠QBC=
×80°=40°,1 2
∴∠QBC=∠C,
∴BQ=CQ;
(2)延长AB至M,使得BM=BP,连结MP.
∴∠M=∠BPM,
∵△ABC中∠BAC=60°,∠C=40°,
∴∠ABC=80°,
∵BQ平分∠ABC,
∴∠QBC=40°=∠C,
∴BQ=CQ,
∵∠ABC=∠M+∠BPM,
∴∠M=∠BPM=40°=∠C,
∵AP平分∠BAC,
∴∠MAP=∠CAP,
在△AMP和△ACP中,
∵
∠M=∠C ∠MAP=∠CAP AP=AP
∴△AMP≌△ACP,
∴AM=AC,
∵AM=AB+BM=AB+BP,AC=AQ+QC=AQ+BQ,
∴AB+BP=AQ+BQ.