对于函数f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的天宫一号点.已知函数f(x)=ax2+(b-7)x+18的两个天宫一号点分别是-3和2.(1)求a,b的值及f(x)的表达式;(2)当函数f(x)的定义域是[t,t+1](t>0)时,f(x)的最大值为G(t),最小值为g(t),求H(t)=G(t)-g(t)的表示式.

问题描述:

对于函数f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的天宫一号点.已知函数f(x)=ax2+(b-7)x+18的两个天宫一号点分别是-3和2.
(1)求a,b的值及f(x)的表达式;
(2)当函数f(x)的定义域是[t,t+1](t>0)时,f(x)的最大值为G(t),最小值为g(t),求H(t)=G(t)-g(t)的表示式.

(1)依题意得f(-3)=-3,f(2)=2;
即9a+21-3b+18=-3,4a+2b-14+18=2,
解得a=-3,b=5
∴f(x)=-3x2-2x+18
(2)∵f(x)对称轴为 x=−

1
3
<0
∴f(x)在[t,t+1](t>0)内是单调减函数,
G(t)=f(x)max=f(t)=−3t2−2t+18
g(t)=f(x)min=f(t+1)=−3t2−8t+13
∴H(t)=G(t)-g(t)=6t+5
答案解析:(1)直接利用定义把条件转化为f(-3)=-3,f(2)=2联立即可求a,b的值及f(x)的表达式;
(2)根据函数的对称轴,确定f(x)在[t,t+1]内是单调减函数,从而可求f(x)的最大值为G(t),最小值为g(t),进而可求H(t)=G(t)-g(t)的表示式
考试点:二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法;二次函数的性质.
知识点:本题以新定义为载体,考查函数的解析式,考查二次函数在闭区间上的最值问题.关于给定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题,一般根据是开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大;开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大,离对称轴越远函数值越小