如图,在正方形ABCD中,F是边BC上一点(点F与点B、点C均不重合),AE⊥AF,AE交CD的延长线于点E,连接EF交AD于点G. (1)求证:BF•FC=DG•EC; (2)设正方形ABCD的边长为1,是否存在这样的点F

问题描述:

如图,在正方形ABCD中,F是边BC上一点(点F与点B、点C均不重合),AE⊥AF,AE交CD的延长线于点E,连接EF交AD于点G.
(1)求证:BF•FC=DG•EC;
(2)设正方形ABCD的边长为1,是否存在这样的点F,使得AF=FG.若存在,求出这时BF的长;若不存在,请说明理由.

(1)证明:∵正方形ABCD,
∴AB=AD,∠ABC=∠ADE=90°,∠BAD=90°(1分)
又∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°
∴∠BAD=∠EAF,即∠BAF+∠FAD=∠EAD+∠DAF
∴∠BAF=∠EAD(1分)
∴△BAF≌△EAD,∴BF=DE.(1分)
∵AD∥BC,

DG
FC
ED
EC
.∴
DG
FC
BF
EC
.(2分)
∴BF•FC=DG•EC.(1分)
(2)设BF=x,则FC=1-x,EC=1+x,
若AF=FG,则∠FAG=∠FGA
∵AD∥BC,∴∠BFA=∠FAG,∠CFE=∠FGA
∴∠BFA=∠CFE,(1分)
又∠ABF=∠ECF=90°
∴△ABF∽△ECF.(1分)
BF
AB
FC
EC
,即:
x
1
1−x
1+x
.(2分)
∴x2+2x-1=0.(1分)
解得:x=
2
−1
.(负根舍去)(1分)
(注:求解的方法很多,参照上述步骤给分.)