如图，在△ABC中，BC=6，AC=42，∠C=45°，在BC边上有一动点P，过P作PD∥AB，与AC相交于点D，连接AP，设BP=x，△APD的面积为y． （1）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围． （2）是
问题描述：
如图，在△ABC中，BC=6，AC=4
，∠C=45°，在BC边上有一动点P，过P作PD∥AB，与AC相交于点D，连接AP，设BP=x，△APD的面积为y．
2
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
（2）是否存在这样的P点，使得△APD的面积等于△ABP面积的
？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由． 2 3
答
（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，
由Rt△AEC中，AC=4
，得到此三角形为等腰直角三角形，
2
∴sin45°=
，即AE=ACsin45°=4AE AC
×
2
=4，
2
2
∴△ABC中BC边上的高为4，
设△CDP中PC边上的高为h，
∵PD∥AB，
∴△CDP∽△CAB，
∴
＝h 4
，6−x 6
∴h=
（6-x）2 3
这样S1=2x，S3=
（6-x）•1 2
6-x）=2 3
（6-x）2，1 3
S2=12-2x-
（6-x）2，1 3
即y＝−
x2+2x，1 3
∵P点只能在线段BC上移动，且不能与B、C两点重合
∴函数自变量的取值范围是0＜x＜6；
（2）由（1）可知AE=4，
∴S△ABP＝
BP•AE＝1 2
•4＝2x，x 2
若S△APD＝
S△ABP则−2 3
x2+2x＝1 3
•2x2 3
即x2-2x=0解得x1=2，x2=0（舍去）
∵0＜2＜6，
∴在BC边上存在一点P（BP=2），使△APD的面积等于△ABP的面积的
．2 3