已知函数f(x)在定义域（-无穷大,4]上为减函数,且能使f(m-sinx）≤f(根号下（1+2m)-7/4+ + Cos^2 X)
已知函数f(x)在定义域（-无穷大,4]上为减函数,且能使f(m-sinx）≤f(根号下（1+2m)-7/4+ + Cos^2 X)
求m得范围.
以前的答案不对吧
好像：
√(1+2m)-7/4+cos²x≤m-sinx.......(1)
√(1+2m)-7/4+cos²x≤4.........(2)
m-sinx≤4..........(3)
(1)===>√(1+2m)-m ≤sin²x-sinx+3/4=(sinx -1/2)²+1/2
对于任意的x∈R成立
===>√(1+2m)-m ≤1/2
m²+1/4+m≥1+2m
(m-1/2)²-1≥0
m≥3/2
或 m ≤-1/2
(2)==>√(1+2m)≤23/4-cos²x
对于任意的x∈R成立 ==>√(1+2m)≤19/4
-1/2≤m≤345/32
3)===>m≤4+sinx 对于任意的x∈R成立====>m≤3
上述交集
==>m∈[3/2 ,3] or m=-1/2
因为f(x)在定义域(-∞,4]上为减函数,所以只要满足
4≥√（1+2m） - 7/4 + Cos^2 X≥m-sinx
就可以了.
①
由 4≥√（1+2m） - 7/4 + Cos^2 X→
1+2m≥0;→m≥-1/2;
Cos^2 X ≤23/4-√（1+2m）,则由三角函数的值域Cos^2 X ≤1,而且x=R,则必有
23/4-√（1+2m）≥1.
解得m≤357/32.
又m≥-1/2,
∴-1/2≤m≤357/32.
②
由4≥m-sinx得:
sinx≥m-4;
则由三角函数的值域sinx≤1,而且x=R,则必有
m-4≤1;
→m≤5.
③
由√（1+2m） - 7/4 + Cos^2 X≥m-sinx得:
Cos^2 X +sinx ≥m-√（1+2m）+ 7/4
则 -2sin^2 x +sinx +1 ≥ m-√（1+2m）+ 7/4
-2(sinx -1/4)^2 +9/8 ≥ m-√（1+2m）+ 7/4.
则由三角函数的值域-1≤sinx≤1,从而得 -2≤-2(sinx -1/4)^2 +9/8≤9/8
而且x=R,则必有
-2≤ m-√（1+2m）+ 7/4≤9/8
这是两个不等式;分别来解.
由-2≤ m-√（1+2m）+ 7/4得:
√（1+2m）≤ m+2 →平方得:
1+2m≤ m^2+4m+4;
则m^2+2m+3≥0;m∈R;
由m-√（1+2m）+ 7/4≤9/8得:
m-5/8≤√（1+2m）;→平方得:
1+2m≤ m^2-(5/4)m+25/64;
由此可以确定m
取①②③的交集即是实数m的取值范围.
//没错我是按根号下的式子仅仅是（1+2m）计算的.