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已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=-2x2+4x， （1）求f（x）解析式； （2）求当x∈[a，a+2]，时，f（x）最大值．

分类: 作业答案 • 2023-01-03 21:19:13
问题描述：

已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=-2x2+4x，
（1）求f（x）解析式；
（2）求当x∈[a，a+2]，时，f（x）最大值．

答

（1）设f（x）=ax2+bx+c，
a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x-1）2+b（x-1）+c=-2x2+4x，
2ax2+2bx+2a+2c=-2x2+4x，

a＝−1
b＝2
c＝1
，∴f(x)＝−x2+2x+1．
（2）f（x）=-（x-1）2+2，
①a+2＜1即a＜-1，当x=a+2，f（x）max=-a2-2a+1；
②a≤1≤a+2即-1≤a≤1，当x=1，f（x）max=2；
③a＞1，当x=a，f（x）max=-a2+2a+1；
故f(x)max＝
−a2−2a+1，a＜−1
2，−1≤a≤1
−a2+2a+1，a＞1

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