在直角坐标平面内,点O为坐标原点,二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交x轴于点A(x1,0)、B(x2,0),且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式;(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位,设平移后的图象与y轴的交点为C,顶点为P,求△POC的面积.

问题描述:

在直角坐标平面内,点O为坐标原点,二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交x轴于点A(x1,0)、B(x2,0),且(x1+1)(x2+1)=-8.
(1)求二次函数解析式;
(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位,设平移后的图象与y轴的交点为C,顶点为P,求△POC的面积.

(1)由已知x1,x2是x2+(k-5)x-(k+4)=0的两根,

x1+x2=−(k−5)
x1x2=−(K+4)

又∵(x1+1)(x2+1)=-8
∴x1x2+(x1+x2)+9=0
∴-(k+4)-(k-5)+9=0
∴k=5
∴y=x2-9为所求;
(2)由已知平移后的函数解析式为:
y=(x-2)2-9,且x=0时y=-5
∴C(0,-5),P(2,-9)
∴S△POC=
1
2
×5×2=5.
答案解析:(1)把(x1+1)(x2+1)=-8展开即可得到与根与系数有关的式子,让二次函数的函数值为0,结合求值即可;
(2)可根据顶点式得到平移后的解析式,求得P,C坐标,S△POC=
1
2
×|OC|×P的横坐标的绝对值.
考试点:抛物线与x轴的交点;二次函数图象与几何变换;待定系数法求二次函数解析式.

知识点:本题考查了二次函数值为0时,与一元二次方程根与系数的关系.讨论两个二次函数的图象的平移问题,只需看顶点坐标是如何平移得到的即可.