在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为_．
问题描述：
在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为______．
答
根据题意设P的坐标为（t，-t3+1），且0＜t＜1，
求导得：y′=-3x2，故切线的斜率k=y′|x=t=-3t2，
所以切线方程为：y-（-t3+1）=-3t2（x-t），
令x=0，解得：y=2t3+1；令y=0，解得：x=
，2t3+1 3t2
所以△AOB的面积S=
（2t3+1）•1 2
=2t3+1 3t2
(2t2+1 6
) 2，1 t
设y=2t2+
=2t2+1 t
+1 2t
≥31 2t
，
3
2t2•
•1 2t
1 2t
当且仅当2t2=
，即t3=1 2t
，即t=1 4
取等号，
3
1 4
把t=
代入得：Smin=
3
1 4
．3
3
2
4
故答案为：
3
3
2
4