已知抛物线x2=4y的焦点为F,A.B是曲线上两动点,且向量AF=λ向量FB(λ>0).过A.B两点分别做抛物线的切线.设其交点为M 1)若同时点P满足PA=λPB,求点P的纵坐标就这一小题

问题描述:

已知抛物线x2=4y的焦点为F,A.B是曲线上两动点,且向量AF=λ向量FB(λ>0).过A.B两点分别做抛物线的切线.设其交点为M
1)若同时点P满足PA=λPB,求点P的纵坐标
就这一小题

抛物线x^2=4y的焦点F(0,1)
设AB方程为y=kx+1,代入x^2=4y
得:x^2=4(kx+1)
即x^2-4kx-4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
那么x1+x2=4k,x1x2=-4
向量AF=λ向量FB(λ>0)
∴(-x1,1-y1)=λ(-x2,1-y2)
∴x1=λx2
对y=1/4*x^2求导
y'=1/2*x
∴曲线在A处切线方程为
y=1/2x1(x-x1)+x²1/4
曲线在B处切线方程为
y=1/2x2(x-x2)+x²2/4
两式相减:
1/2(x1-x2)x-1/4(x²1-x²2)=0
∵x1≠x2
∴x=(x1+x2)/2
y= 1/4*x1(x2-x1)+x²1/4
=1/4*x1x2
=-1
即两条切线交点纵坐标为-1