设x→0时，etanx-ex与xn是同阶无穷小，则n为（　　）A. 1B. 2C. 3D. 4

分类: 作业答案 • 2022-09-27 13:49:27

问题描述：

设x→0时，e^tanx-e^x与xⁿ是同阶无穷小，则n为（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答

∵tanx＝x+

x3+o(x3)
e^tanx-x-1～tanx-x
∴etanx−ex＝ex(etanx−x−1)＝

x3+o(x3)
∴e^tanx-e^x和x³是同阶非等价无穷小
∴n=3
故选：C．
答案解析：考查泰勒公式、等价无穷小和洛必达法则的结合，考虑先从tanx的泰勒展开入手
考试点：同阶无穷小、等价无穷小；泰勒公式在函数逼近中的应用．

知识点：对几个常用函数的马克劳林展式要记忆，这种题目用泰勒展开会比单单使用洛必达法则求极限简单得多