在数列{an}中,a1=1,an+1=an1+nan,求an.

问题描述:

在数列{an}中,a1=1,an+1=

an
1+nan
,求an

an+1=

an
1+nan
可化为
1
an+1
-
1
an
=n,
1
a2
-
1
a1
=1,
1
a3
-
1
a2
=2,
1
a4
-
1
a3
=3,…,
1
an
-
1
an−1
=n-1.
相加得
1
an
-
1
a1
=1+2+…+(n-1),又a1=1,所以整理得an=
2
n2−n+2

所以数列{an}的通项公式an=
2
n2−n+2

答案解析:此题将递推关系式an+1=
an
1+nan
变形,可化简为
1
an+1
-
1
an
=n,进而由数列求通项的方法,即迭加法即可求出an
考试点:数列递推式.
知识点:本题主要考查利用迭加法求数列的通项公式;而对于像这种求数列通项公式,特别是由递推公式给出数列条件来求通项公式时,除迭加、迭乘外还应注意变形式是否是等差(等比)数列.对于数列递推公式不要升温,只要能根据递推公式写出数列的前几项,由此来猜测归纳其构成规律.