如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,且BD:DC:AD=2:3:6.(Ⅰ)求∠BAC的大小;(Ⅱ)设E为AB的中点,已知△ABC的面积为15,求CE的长.

问题描述:

如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,且BD:DC:AD=2:3:6.

(Ⅰ)求∠BAC的大小;
(Ⅱ)设E为AB的中点,已知△ABC的面积为15,求CE的长.

(I)由已知得tan∠BAD=

1
3
,tan∠CAD=
1
2

∴tan∠BAC=tan(∠BAD+∠CAD)=
1
3
+
1
2
1−
1
3
×
1
2
=1,
又∠BAC∈(0,π),
∴∠BAC=
π
4

(II)设BD=2t(t>0),则DC=3t,AD=6t,BC=BD+DC=5t,
由已知得:15t2=15,解得:t=1,
∴BD=2,DC=3,AD=6,
则AE=
AB
2
=
10
,AC=3
5

由余弦定理得CE2=AE2+AC2-2AE•AC•cos∠BAC=10+45-30=25,
则CE=5.
答案解析:(Ⅰ)在直角三角形ABD与ACD中,利用锐角三角函数定义,根据题意求出tan∠BAD与tan∠CAD的值,由∠BAC=∠BAD+∠CAD,利用两角和与差的正切函数公式化简后,将各自的值代入计算求出tan∠BAC的值,由∠BAC为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出∠BAC的度数;
(Ⅱ)根据比例设BD=2t,得到DC=3t,AD=6t,由三角形的面积等于BC乘以AD的一半求出t的值,得到BD,DC与AD的长,由E为AB中点,求出AE的长,在三角形ACE中,利用余弦定理即可求出CE的长.
考试点:两角和与差的正切函数;余弦定理.
知识点:此题考查了两角和与差的正切函数公式,余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.