已知函数f（x）=ax2+3x+1x+1且此函数在其定义域上有且只有一个零点．（1）求实数a的取值集合．（2）当a∈N*时，设数列{an}的前n项的和为Sn，且Sn=n•f（n），求{an}的通项公式．（3）在（2）的条件下，若数列{an}是有固定n项的有穷数列，现从中抽去某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均值为31，求这个数列的项数，并指出抽去的是第几项．
问题描述：
已知函数f（x）=
且此函数在其定义域上有且只有一个零点．ax2+3x+1 x+1
（1）求实数a的取值集合．
（2）当a∈N*时，设数列{an}的前n项的和为Sn，且Sn=n•f（n），求{an}的通项公式．
（3）在（2）的条件下，若数列{an}是有固定n项的有穷数列，现从中抽去某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均值为31，求这个数列的项数，并指出抽去的是第几项．
答
（1）函数的定义域是{x∈R|x≠-1}，因为函数在其定义域上有且只有一个零点，故当a=0时，函数只有一个零点x＝−13，…（1分）当a≠0时，由ax2+3x+1＝0x+1≠0只有一个解，可以分为两种情况：①一元二次方程ax2+3x+1=0...
答案解析：（1）函当a=0时，函数只有一个零点x＝−
，当a≠0时，由1 3
只有一个解，可知一元二次方程ax2+3x+1=0有两相等且不等于-1的解或一元二次方程ax2+3x+1=0有一解是x=-1，由此能求出实数a的取值集合．
ax2+3x+1＝0 x+1≠0
（2）由已知条件推导出Sn＝n•f(n)＝2n2+n，由此能求出{an}的通项公式．
（3）设抽去的是第k项，依题意1＜k＜n，由
，能求出此数列共有15项，抽去的是第8项．
ak＞a1⇒n＜1或n＞14
ak＜an⇒1＜n＜16
考试点：数列与函数的综合．
知识点：本题考查实数的取值的集合的求法，考查数列的通项公式的求法，考查数列的项数的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的灵活运用．