函数f(x)定义域为R,对任意实数a,b∈R,有f(a+b)=2f(a)f(b),且存在c>0,使f(c/2)=0,则f(x)的周期为
问题描述：
函数f(x)定义域为R,对任意实数a,b∈R,有f(a+b)=2f(a)f(b),且存在c>0,使f(c/2)=0,则f(x)的周期为
答
b-a 的绝对值
f(a+b)=2f(a)f(b)
f(a+c/2)=2f(a)f(c/2)=0
f(c/2+b)=2f(C/2)f(b)=0
f(a+c/2)=f(c/2+b）
令x=a+c/2
f(x)=f(x-a+b）
所以周期为b-a的绝对值
答
RETWEQ
答
题目有误,
对任意x∈R,x=(x-c/2)+c/2,
f(x)=f((x-c/2)+c/2)=f(x-c/2)f(c/2)=0,
即f(x)≡0,最小正周期不存在.周期为任意实数.
如果把题目修改为：
函数f(x)定义域为R,对任意实数a、b∈R,f(a+b)=2f(a)f(b)成立,且存在c>0,满足f(c/2)=1,问f(x)的周期是多少?.
那么f(x+c/2)=f(x),c/2是一个周期,kc/2（k∈Z）也是周期.