设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个球放入5个盒子内(1)只有一个盒子空着,共有多少种投放方法?(2)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?(3)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法?
问题描述:
设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个球放入5个盒子内
(1)只有一个盒子空着,共有多少种投放方法?
(2)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?
(3)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法?
答
首先选定两个不同的球,看作一个球,选法有C52=10种,
再把“空”当作一个球,共计5个“球”,投入5个盒子中,有A55=120种投放法.
∴共计10×120=1200种方法
(2)没有一个盒子空着,相当于5个元素排列在5个位置上,有A55种,而球的编号与盒子编号全相同只有1种,所以没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同的投法有 A55-1=119种.
(3)不满足条件的情形:第一类,恰有一球相同的放法:C51×9=45,
第二类,五个球的编号与盒子编号全不同的放法:5!(
−1 2!
+1 3!
−1 4!
)=441 5!
∴满足条件的放法数为:
A55-45-44=31(种).
答案解析:(1)首先选定两个不同的球,看作一个球,选法有C52种,再把“空”当作一个球,共计5个“球”,投入5个盒子中,有A55种投放法
(2)没有一个盒子空着,相当于5个元素排列在5个位置上,有A55种,而球的编号与盒子编号 全相同只有1种.减去即可.
(3)先求不合要求的放法:恰有一球相同的放法,五个球的编号与盒子编号全不同的放法.
考试点:排列、组合及简单计数问题.
知识点:本题(1)解题的关键是把两个球先看成一个球,把没要球的地方也堪称一个球,再排列得到结果,(2)(3)用间接法求解便捷.