如图,已知⊙O的半径为2,弦BC的长为23,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外).(1)求∠BAC的度数;(2)求△ABC面积的最大值.(参考数据:sin60°=32,cos30°=32,tan30°=33.)

问题描述:

如图,已知⊙O的半径为2,弦BC的长为2

3
,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外).

(1)求∠BAC的度数;
(2)求△ABC面积的最大值.
(参考数据:sin60°=
3
2
cos30°=
3
2
tan30°=
3
3
.)

(1)连接OB,OC,过O作OD⊥BC,可得D为BC的中点,即BD=CD=

1
2
BC=
3

在Rt△OBD中,OB=2,BD=
3

根据勾股定理得:OD=
OB2−BD2
=1,
∴OD=
1
2
OB,
∴∠OBC=30°,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=30°,
∴∠BOC=120°,
∵∠BAC与∠BOC都对
BC

∴∠BAC=
1
2
∠BOC=60°;
(2)当AB=AC,即△ABC为等边三角形时,面积最大,
此时面积为
3
4
×(2
3
2=3
3

答案解析:(1)连接OB,OC,过O作OD⊥BC,利用垂径定理得到D为BC的中点,求出BD的长,在直角三角形BOD中,利用勾股定理求出OD的长,得到OD等于OB的一半,利用直角三角形中直角边等于斜边的一半,可得出此直角边所对的角为30度,利用等边对等角得到一对角相等,利用三角形内角和定理求出∠BOC的度数,最后利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出∠BAC的度数;
(2)当AB=AC,即三角形ABC为等边三角形时,面积最大,由BC的长求出最大面积即可.
考试点:垂径定理;圆周角定理;特殊角的三角函数值.
知识点:此题考查了垂径定理,圆周角定理,以及含30度直角三角形的性质,熟练掌握垂径定理是解本题的关键.