如图,已知⊙O的半径为2,弦BC的长为23,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外).(1)求∠BAC的度数;(2)求△ABC面积的最大值.(参考数据:sin60°=32,cos30°=32,tan30°=33.)
问题描述:
如图,已知⊙O的半径为2,弦BC的长为2
,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外).
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(1)求∠BAC的度数;
(2)求△ABC面积的最大值.
(参考数据:sin60°=
,cos30°=
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,tan30°=
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.)
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答
(1)连接OB,OC,过O作OD⊥BC,可得D为BC的中点,即BD=CD=12BC=3,在Rt△OBD中,OB=2,BD=3,根据勾股定理得:OD=OB2−BD2=1,∴OD=12OB,∴∠OBC=30°,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=30°,∴∠BOC=120°,∵∠BAC与∠B...
答案解析:(1)连接OB,OC,过O作OD⊥BC,利用垂径定理得到D为BC的中点,求出BD的长,在直角三角形BOD中,利用勾股定理求出OD的长,得到OD等于OB的一半,利用直角三角形中直角边等于斜边的一半,可得出此直角边所对的角为30度,利用等边对等角得到一对角相等,利用三角形内角和定理求出∠BOC的度数,最后利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出∠BAC的度数;
(2)当AB=AC,即三角形ABC为等边三角形时,面积最大,由BC的长求出最大面积即可.
考试点:垂径定理;圆周角定理;特殊角的三角函数值.
知识点:此题考查了垂径定理,圆周角定理,以及含30度直角三角形的性质,熟练掌握垂径定理是解本题的关键.